Неевклидовы геометрии
Анализатор зрения значительно отстоит от двухполярного ума. Поэтому появилась почва, для вывода зримого на область ума, но со значительным отрывом от линейности такого ума. Появились изыскания ума в области геометрии.
Неевклидова геометрия, геометрия, сходная с геометрией Евклида в том, что в ней определено движение фигур, но отличающаяся от евклидовой геометрии тем, что один из пяти ее постулатов (второй или пятый) заменен его отрицанием.
Второй постулат Евклида утверждает, что любой отрезок прямой можно неограниченно продолжить. Евклид, по-видимому, считал, что этот постулат содержит в себе и утверждение, что прямая имеет бесконечную длину. Однако в «эллиптической» геометрии любая прямая конечна и, подобно окружности, замкнута.
Пятый постулат утверждает, что если прямая пересекает две данные прямые так, что два внутренних угла по одну сторону от нее в сумме меньше двух прямых углов, то эти две прямые, если продолжить их неограниченно, пересекутся с той стороны, где сумма этих углов меньше суммы двух прямых. Но в «гиперболической» геометрии может существовать перпендикулярная к заданной прямой и пересекающая другую прямую под острым углом, но, тем не менее, бесконечные прямые никогда не пересекутся.
Из этих пересмотренных постулатов следовало, что сумма углов треугольника, равная 1800 в евклидовой геометрии, больше 1800 в эллиптической геометрии и меньше 1800 в гиперболической геометрии.
Первым неевклидовым геометром можно считать самого Евклида. Его нежелание использовать «не самоочевидный» пятый постулат следует хотя бы из того, что свои первые двадцать восемь предложений Евклид доказывает, не прибегая к этому постулату.
С первого века до н.э. до 1820 математики пытались вывести пятый постулат из остальных, но преуспели лишь в замене его различными эквивалентными допущениями, такими, как «две параллельные линии всюду равно удалены друг от друга» или «любые три точки, не расположенные на одной прямой, принадлежат окружности».
Ближе всех подошел к цели иезуит, логик и математик Дж.Саккери (1667–1733), который начал свои исследования с так называемого четырехугольника Саккери. Он рассмотрел поочередно три гипотезы: верхние углы четырехугольника тупые, прямые и острые. Он доказал, что любая из этих гипотез, если ее принять для какого-нибудь одного такого четырехугольника, остается в силе для всех таких четырехугольников. Сам того не ведая, он открыл многие теоремы геометрии, получившей впоследствии название гиперболической.
К.Гаусса (1777–1855 первым подошел к проблеме с точки зрения, согласно которой геометрию, отрицающую пятый постулат, надлежит развивать ради её самой, не ожидая, что при этом возникнет какое-то противоречие. Письма Гаусса к друзьям говорят о том, что к 1816 он преодолел традиционный предрассудок относительно неизбежности противоречия и развил «антиевклидову» геометрию, удовлетворяющую гипотезе Саккери об остром угле. Но, опасаясь насмешек, он воздерживался от публикации этих идей и тем самым позволил разделить честь открытия гиперболической геометрии (примерно в 1825) венгру Я.Бойяи (1802–1860) и русскому Н.И.Лобачевскому (1793–1856). Бойяи опубликовал свою работу до того, как услышал о Лобачевском, а Лобачевский так никогда и не узнал об исследованиях Бойяи.
Гаусс интуитивно догадался о том, что в силу вступает ум, а не натурально зримое. Но до конца понять то, что изменённые свойства ума изменяют и его построения он не смог; уж очень сильной была вера в "отображение умом действительного мира".
В 1854 Б.Риман (1826–1866) заметил, что из неограниченности пространства еще не следует его бесконечная протяженность. Смысл этого утверждения станет яснее, если представить, что в неограниченной, но конечной Вселенной астроном в принципе мог бы увидеть в телескоп, обладающий достаточно высокой разрешающей способностью, свой собственный затылок.
В своем доказательстве того, что внешний угол при любой вершине треугольника больше внутреннего угла при любой из двух остальных вершин, Евклид неявно использовал бесконечную длину прямой. Из этой теоремы тотчас же следует теорема о том, что сумма любых двух углов треугольника меньше суммы двух прямых углов. Если отказаться от бесконечной длины прямой, то гипотеза Саккери о тупом угле становиться верной и из нее следует, что сумма углов треугольника больше суммы двух прямых. Такое положение дел было давно известно в сферической тригонометрии, где стороны треугольника являются дугами больших кругов.
Риман внес большой вклад, распространив представление о конечном, но неограниченном пространстве с двух на три и большее число измерений. Фактически он предвосхитил понятие локальности. Но, увы, Риман приписывает это не уму, а Вселенной, что характерно для двухполярного ума. Конечно, о том, что всякое локализованное пространство имеет только свои законы отношений, Риман предполагать не мог. Для этого должна была созреть идея и дух многополярности.
Ф.Клейн (1849–1925) первым увидел, как избавить сферическую геометрию от одного из ее недостатков – того, что две лежащие в одной плоскости «прямые» имеют не одну общую точку, а две. Таким образом, можно изменить смысл термина «точка», условившись впредь называть «одной точкой» пару диаметрально противоположных точек.
Это могло бы стать сенсацией и переворотом самих принц, так как уже в трёхполярном пространстве совершается именно такое искривление. В. Ленский лабораторными экспериментами по многополярности доказывает реальность таких пространств… в условиях на Земле.
Следуя аналогии с обычным пучком, состоящим из совокупности прямых, проходящих через точку, можно считать, что пучок параллельных определяет «бесконечно удаленную точку», или, по терминологии Д.Гильберта (1862–1943), «конец». Вместо того чтобы говорить, что два луча параллельны или что они принадлежат некоторому пучку параллельных, можно говорить, что два луча имеют общий конец. Кривые, ортогональные обычному пучку прямых, могут иметь вид концентрических окружностей; кривые, ортогональные пучку параллельных, могут иметь вид концентрических «орициклов». В действительности орицикл – это предельная форма окружности, центр которой уходит в бесконечность так, что диаметры окружности становятся параллельными.
Ф.Вахтер (1792–1817), за несколько месяцев до безвременной кончины, сообщил в письме к Гауссу о своем наблюдении: если пятый постулат Евклида ложен, то сфера, радиус которой стремиться к бесконечности, приближается к предельной поверхности, чья внутренняя геометрия совпадает с геометрией евклидовой плоскости. Тем самым Вахтер предвосхитил появление «орисферы», сыгравшей важную роль в работах Бойяи и Лобачевского. Эта поверхность получается при вращении орицикла вокруг любого из его диаметров. Кривые на орисфере, которые ведут себя, как евклидовы прямые, – орициклы, по которым орисферу пересекают ее диаметральные плоскости.
А.Пуанкаре (1854–1912) открыл представление гиперболического пространства с помощью конформной модели, в которой геометрическое место концов имеет вид плоскости в евклидовом пространстве, а сферам соответствуют плоскости гиперболического пространства. Заменив сферы полусферами, Пуанкаре получил возможность представить все гиперболическое пространство с помощью половины евклидова пространства.
Любая модель называется «конформной» потому, что углы сохраняют свою величину, хотя расстояния неизбежно искажаются. Если пойти на искажение углов, то дуги можно заменить хордами. Эту более простую модель предложил в 1868 году Э.Бельтрами (1835–1900) для доказательства того, что гиперболическая геометрия так же логически непротиворечива, как и евклидова. В модели Бельтрами множество прямых, проходящих через точку представлено обычным пучком параллельных или гиперпараллельных. Иначе говоря, две перпендикулярные прямые гиперболической плоскости представлены двумя «сопряженными» прямыми. Такого рода идеи относятся к проективной геометрии.
Можно было бы порадоваться за геометров ума; ведь на деле зрение не соприкасается ни с одной из предложенных геометрий, а они – есть продукция свойств ума. Приближение к локальности очень хорошо бы сочеталось с конструкциями математиков и заполнилось бы законами отношений в пространствах, тем самым «оживив» их. Но ум упорно оставался не тронутым так, что локализация пространств «пучками лучей» не повлияла на законы отношений между объектами. Ум по-прежнему оставался двухполярным и линейным. Он останется таким до той поры, пока учёные не осмыслят многополярность и не преобразуют свой ум.
С появлением многополярности В.Ленского (1976 г.) развитие неевклидовых геометрий перестаёт быть стихией конструирования. Появляется понятие о локализации пространств (см.Пространства). Что означает, например, трёхполярное пространство? Три перпендикуляра в нём окажутся одновременно параллельными. Это противоречит смыслу «перпендикуляр» и «параллельная». Появляется, как и в физике, дуализм и многомерность, где объекты микромира одновременно являются и волнами и корпускулами и наделены ещё многими свойствами. Дуализм и многомерие в многополярности не есть изобретение. Это – факт существования пространств. Однако до момента перевода конструкций ума в область действительного мира, неевклидовы геометрии и, охватывающая их многополярная геометрия, есть красивые построения ума.
К требованиям, по приближению ума к действительному миру подошли физики релятивистской и квантовой механики.